გაკვეთილები

                                      გაკვეთილის გეგმა

მასწავლებელი: ნატო ჩანქსელიანი
საგანი: მათემატიკა	კლასი: VIII
თემა: პითაგორას თეორემა	დრო: 45 წთ
მოსწავლეთა პროფილი  კლასში არის 19 მოსწავლე, მათ შორის არ არის სპეციალური საგანმანათლებლო საჭიროების არცერთი მოსწავლე
გაკვეთილის მიზანი:    მოსწავლეები გაიგებენ, გაიაზრებენ, გაანალიზებენ და შეაფასებენ პითაგორას თეორემას და მისი დამტკიცება, დასაბუთების ხერხებს.   მოახერეხებენ ამ თეორემის გამოყენებით  მრავალი პრაქტიკული ამოცანის განხილვას და ამოხსნას. ამ საკითხისადმი გეომეტრიული მიდგომა ხელს შეუწყობს ირაციონალურობის საწყისების ათვისებას.   მოსალოდნელი შედეგი: Ø  წინარე ცოდნაზე დაყრდნობით მოსწავლეებს შეუძლიათ კვადრატული ფესვის განსაზღვრება. Ø  მოსწავლე  ამოიცნობს და განსაზღვრავს  მართკუთხა სამკუთხედის კათეტებს და ჰიპოტენუზას; Ø  დაამყარებს კავშირს პითაგორას თეორემის გამოყენებით მართკუთხა სამკუთხედის კათეტებსა და ჰიპოტენუზას შორის; Ø  ამ თეორემის გამოყენებით შეძლებენ პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნას.
ეროვნული სასწავლო გეგმის სტანდარტი: მათემატიკა VIII.2 მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება და მათი  შედეგის შეფასება. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: Ø  იყენენებს შეფასებას რაციონალურ რიცხვებზე შესრულებული გამოთვლების  (მათ შორის ხარისხი და ფესვი) შედეგის ადეკვატურობის შესამოწმებლად.   VIII.9  მოსწავლეს შეუძლია ფიგურისა და  მისი ელემენტის ზომების  მოძებნა. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: Ø  იყენებს ფიგურათა თვისებებს და ტოლი ფიგურების შესაბამისი ელემენტების  შედარების მეთოდს ფიგურის ელემენტის უცნობი ზომის მოსაძებნად;
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:     მოკლედ პასუხობს კითხვებს მისთვის ნაცნობ თემატიკაზე. ახერხებს ამოცანების ამოხსნას პითაგორას თეორემის გამოყენებით; ახერხებს ალგებრული გამოთვლების გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას და ირაციონალური საწყისების ათვისებას.    მოსწავლეს გამომუშავებული აქვს თანაკლასელებთან და მასწავლებელთან თანამშრომლობის  ჩვევები. ცდილობს, მეწყვილესთან ერთად გადაჭრას დასმული ამოცანა.
შეფასების ტიპები:  გაკვეთილზე გამოყენებული იქნება განმსაზღვრელი და  განმავითარებელი შეფასება, ასევე ურთიერთშეფასება. შეფასების მეთოდი: შეფასების რუბრიკა
ორგანიზების ფორმები: Ø  საერთო საკლასო Ø  ჯგუფური მუშაობა Ø  წყვილებში  მუშაობა
სასწავლო მასალა და რესურსები:      დაფა, ცარცი,მოსწავლეების მიერ უჯრიან ფურცლებზე დამზადებული სხვადასხვა ზომის მართკუთხა სამკუთხედები, საპრეზენტაციო ფლიფჩარტები, თაბახის ფურცლები, მარკერი,  სახაზავი, ფანქარი, სახელმძღვანელო, შეფასების რუბრიკა,  კომპიუტერი, პროექტორი, საპრეზენტაციო პროგრამა: Power point.
I - აქტივობა: - 3 წთ.     ორგანიზაციული საკითხების მოგვარება     აქტივობის აღწერა:      მისალმება, დასწრების შემოწმება. მასწავლებელი პროექტორით მთელ კლასს აცნობს გაკვეთილის თემას, მიზანს და აქტივობებს, შეფასების საგანს და შეფასების რუბრიკებს. მოათავსებს მათ თვალსაჩინო ადგილზე.
II - აქტივობა: საშინაო დავალების წარმოდგენა -  4 წთ     აქტივობის მიზანი:  მოსწავლეები წარმოადგენენ შესრულებულ საშინაო დავალებას  (მათ  მიერ უჯრიან ფურცლებზე დამზადებულ სხვადასხვა ზომის მართკუთხა სამკუთხედებს. დაახასიათებენ გვერდების ზომის მიხედვით - ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედები და სხვადასხვა გვერდა მართკუთხა სამკუთხედები. ჯგუფების მიხედვით წარმოადგენენ ფლიფჩარტებზე ოთხი ტოლი მართკუთხა სამკუთხედით შედგენილ კვადრატებს. წაიკითხავენ მოძიებულ ისტორიულ ცნობებს პითაგორას თეორემის  დამტკიცების შესახებ.)
III - აქტივობა:  -  4 წთ  საერთო საკლასო        ,,გონებრივი იერიში"        აქტივობის მიზანი: მოსწავლეებმა შეძლონ წინარე ცოდნის გააქტიურება .       აქტივობის აღწერა:  მასწავლებელი მოსწავლეებს დაუსვამს კითხვებს:   1. რას ეწოდება მართკუთხა სამუკთხედი?   2. რას ეწოდება კათეტები?  ჰიპოტენუზა?   3. როგორ გამოითვლება  კვადრატის ფართობი?   4. როგორ გამოითვლება მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი?   5. რას უდრის ორი რიცხვის ჯამის კვადრატი?
IV - აქტივობა: -  8 წთ.         წყვილებში  მუშაობა        აქტივობის მიზანი: ანალიტიკური, სინთეზური აზროვნებისა და შეფასების უნარების განვითარება.        აქტივობის აღწერა: მოსწავლეები მასწავლებლის მითითების საფუძველზე გაზომავენ მათ მიერ უჯრიან ფურცლებზე დამზადებული მართკუთხა სამკუთხედის  კათეტების და ჰიპოტენუზის სიგრძეებს და იპოვიან თითოეული რიცხვის კვადრატს. ამ გამოთვლებზე დაყრდნობით, მოსწავლეები ინდუქციიდან მივლენ დედუქციამდე, ჩამოაყალიბებენ თეორემას, რომელიც სრულყოფილად პირველად ძველმა ბერძენმა  ფილოსოფოსმა და მათემატიკოსმა პითაგორამ დაასაბუთა, ამიტომაც ამ თეორემას ეწოდება პითაგორას თეორემა, რომელიც შემდეგში მდგომარეობს:       კათეტების სიგრძეთა კვადრატების ჯამი ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატის ტოლია.     დღეისათვის ამ დებულების  500- მდე სხვადასხვა დასაბუთება  არსებობს.     მასწავლებლის მითითებებზე დაყრდნობით, მოსწავლეები მათ მიერ ჩატარებული გაზომვების საშუალებით,  დაასაბუთებენ ამ დებულების ჭეშმარიტებას:                                        a2 + b2  = c2    კონკრეტული გამოთვლებიდან გამომდინარე,  ინდუქციის საფუძველზე  კი გადავლენ დედუქციაზე.  შესრულებული  გამოთვლებიდან   ბავშვები  გამოყოფენ 3m,   4m   და    5m    სახის რიცხვებს. მასწავლებელი განმარტავს, რომ ასეთი სახის რიცხვებს, პითაგორას რიცხვები ეწოდება.
V -აქტივობა: - 7 წთ       წყვილებში  მუშაობის პრეზენტაცია    აქტივობის მიზანი:  გაგება, გააზრება, სინთეზი, შეფასება  (მასალის გასაგებად გადმოცემა)     აქტივობის აღწერა: მოსწავლეები წარმოადგენენ მათ მიერ ჩატარებული გაზომვებისა და გამოთვლების პრეზენტაციას. გააკეთებენ დასკვნებს, შეაფასებენ მიღებულ შედეგებს. მოახდენენ კონკრეტული შედეგების განზოგადებას.
VI - აქტივობა:   10 წთ.  ჯგუფური მუშაობა      აქტივობის მიზანი:  ანალიზი, სინთეზი და შეფასება.      აქტივობის აღწერა: საშინაო დავალებაში წარმოდგენილი ოთხი ტოლი მართკუთხა სამკუთხედის საშუალებით ,  რომელთა კათეტებია a და b,  ხოლო ჰიპოტენუზა  c, შედგენილი ორი კვადრატის ფართობის გამოთვლა. ამ სამკუთხედებს განალაგებენ ისე, რომ დიდი კვადრატის გვერდია:  a + b , ხოლო  პატარა კვადრატის გვერდი - c.     პატარა  კვადრატის ფართობი ტოლია დიდი კვადრატის ფართობს გამოკლებული ოთხი ტოლი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობების ჯამი -  c2 = ( a + b )2 - 4. ამრიგად:                   c2 = a2 + 2ab + b2  - 2ab ,  საიდანაც                        c2 = a2 + b2      ამ გამოთვლების  საფუძველზე დაასაბუთებენ პითაგორას თეორემის შებრუნებულ თეორემას:                             c2 =  a2 + b2         ჰიპოტენუზის სიგრძის  კვადრატი კათეტების სიგრძეების  კვადრატების ჯამის ტოლია.                     პრობლემაზე ორიენტირებული  სამოდელო                                                                    გაკვეთილის გეგმა მასწავლებელი: ნატო ჩანქსელიანი  საგანი: მათემატიკა                                                          კლასი: VII თემა: კვადრატების სხვაობის ფორმულის  დამტკიცება ტოლი პერიმეტრის მქონე მართკუთხედისა  და კვადრატის  ფართობების შედარების გამოყენებით დრო: 45 წთ მოსწავლეთა პროფილი  კლასში არის 25 მოსწავლე, მათ შორის არ არის სპეციალური საგანმანათლებლო საჭიროების არცერთი მოსწავლე გაკვეთილის მიზანი:    კვადრატების სხვაობის ფორმულის დამტკიცება ტოლი პერიმეტრის მქონე მართკუთხედისა და კვადრატის  ფართობების  შედარებით, ამ მეთოდის გამოყენება  კვადრატების სხვაობის ფორმულის დამტკიცების პრობლემის გადასაჭრელად,   რეალურ ვითარებასთან დაკავშირებული ამოცანის ამოხსნისას.     მოსალოდნელი შედეგი: Ø  წინარე ცოდნაზე დაყრდნობით მოსწავლეებს შეუძლიათ სხვაობისა და ჯამის კვადრატის ფორმულების გამოყენება. Ø  ალგებრული გარდაქმნებისა და ლოგიკური მსჯელობის გამოყენებთ ასაბუთებს ან უარყოფს ორი ალგებრული გამოსახულების იგივურ ტოლობას. Ø  გეომეტრიულად წარმოდგენილი ოპტიმიზაციის ამოცანასთან  ალგებრული იგივეობის დაკავშირება.              ეროვნული სასწავლო გეგმის სტანდარტი: მათ. VII.7. მოსწავლეს შეუძლია ალგებრული გამოსახულების გამარტივება და წრფივი განტოლების ამოხსნა. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: Ø იყენებს მოქმედებათა თვისებებს, მათ თანმიმდევრობას და დაჯგუფებას ალგებრული (არაუმეტეს ორი ცვლადის შემცველი წრფივი ან მეორე ხარისხის) გამოსახულების გასამარტივებლად და მისი მნიშვნელობის გამოსათვლელად ცვლადების მოცემული მნიშვნელობებისათვის; Ø ალგებრული გარდაქმნებისა და ლოგიკური მსჯელობის გამოყენებით ასაბუთებს ან უარყოფს ორი ალგებრული (არაუმეტეს ორი ცვლადის შემცველი წრფივი ან მეორე ხარისხის) გამოსახულების იგივურ ტოლობას. Ø მათ. VII.10. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული ობიექტების წარმოდგენა ამოცანის კონტექსტის შესაბამისად. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: Ø აგებს დასმული ამოცანის შესაბამის ნახაზს და ადეკვატურად იყენებს ასოით აღნიშვნებს; Ø აღწერს გეომეტრიულ ობიექტთა მოცემულ გრაფიკულ გამოსახულებებს ან ობიექტთა ურთიერთმდებარეობას შესაბამისი ტერმინოლოგიის გამოყენებით. Ø გამოსახავს ბრტყელ ფიგურებს ისე, რომ მათი თანაკვეთა/გაერთიანება იყოს მითითებული ფორმის ან თვისებების მქონე ფიგურა. Ø    შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:     მოკლედ პასუხობს კითხვებს მისთვის ნაცნობ თემატიკაზე. შეუძლია ალგებრული გამოსახულებების   იგივური ტოლობის მიღება  წმინდა ალგებრული გზით, რომელიც  დაკავშირებულია ოპერაციათა ჩატარების უნარის განვითარებასთან და ამ ტოლობის გეომეტრიული შინაარსის  წარმოდგენა, სხვადასხვა  (ალგებრულ და გეომეტრიულ) ობიექტებსა და ოპერაციებს შორის კავშირის გაცნობიერება, პრობლემის გადასაჭრელად.    მოსწავლეს გამომუშავებული აქვს თანაკლასელებთან და მასწავლებელთან თანამშრომლობის ჩვევები. განვითარებული აქვს პრობლემებზე არგუმენტირებული მსჯელობისა  და შეფასების უნარები. ცდილობს, ჯგუფური   მუშაობისას ჯგუფის წევრებთან  ერთად გადაჭრას დასმული პრობლემა. შეფასების ტიპები:  გაკვეთილზე გამოყენებული იქნება განმსაზღვრელი და  განმავითარებელი შეფასება. შეფასების მეთოდი: შეფასების რუბრიკა ორგანიზების ფორმები: Ø  საერთო საკლასო Ø  ჯგუფური  მუშაობა Ø  დისკუსია სასწავლო მასალა და რესურსები:      დაფა, ცარცი, მოსწავლეების მიერ დამზადებული სხვადასხვა ზომის მართკუთხედები და კვადრატები.  საპრეზენტაციო ფლიფჩარტები, თაბახის ფურცლები, მარკერი,  სახაზავი, ფანქარი, სკოჩი, სახელმძღვანელო, შეფასების რუბრიკა,  კომპიუტერი, პროექტორი, საპრეზენტაციო პროგრამა: Power point. მასწავლებლის ბლოგი.    I - აქტივობა: - 3 წთ.     ორგანიზაციული საკითხების მოგვარება    აქტივობის აღწერა:  მისალმება, დასწრების შემოწმება. მასწავლებელი პროექტორით მთელ კლასს აცნობს გაკვეთილის თემას, მიზანს და აქტივობებს, შეფასების საგანს და შეფასების რუბრიკებს. მოათავსებს მათ თვალსაჩინო ადგილზე, (იმ შემთხვევისათვის, თუ იქნება ტექნიკური ხარვეზი, ფლიფჩარტებზე გაწერილი გაკვეთილის თემა, მიზანი და შეფასების რუბრიკები  გამოკრულია   თვალსაჩინოდ   საკლასო ოთახში). II - აქტივობა: საშინაო დავალების წარმოდგენა -  4 წთ      აქტივობის მიზანი:  მოსწავლეები წარმოადგენენ შესრულებულ საშინაო დავალებას  (მათ  მიერ  დამზადებულ სხვადასხვა ზომის მართკუთხედებს და კვადრატებს, სადაც თითოეული ჯგუფის მიერ წარმოდგენილ კვადრატს და მართკუთხედს ტოლი პერიმეტრები აქვთ. ამ ფიგურებს დაახასიათებენ  გვერდების ზომის მიხედვით.  წაიკითხავენ მოძიებულ ისტორიულ ცნობებს ტოლი პერიმეტრის მქონე მართკუთხედებს შორის უდიდესი ფართობი რომელ მართკუთხედს აქვს). III - აქტივობა:  -  3 წთ      ,,ქვიზის დაწერა"        აქტივობის მიზანი: მოსწავლეებმა შეძლონ წინარე ცოდნის გააქტიურება .        აქტივობის აღწერა:  მასწავლებელი მოსწავლეებს დაურიგებს ,,ქვიზის"  კითხვებს და შემდეგ მოახდენს შემოწმებას, პასუხებისა,  წინასწარ მომზადებული შაბლონის საშუალებით.         1. რას ეწოდება მართკუთხედი?     2. რას ეწოდება კვადრატი?     3. რით განსხვავდება მართკუთხედი კვადრატისაგან?     4. რას ეწოდება პერიმეტრი?     5. როგორ გამოვთვალოთ კვადრატის ფართობი?     6. როგორ გამოვთვალოთ მართკუთხედის ფართობი? IV - აქტივობა: -  ჯგუფური  მუშაობა   - 8 წთ.       აქტივობის მიზანი: ჯგუფური მუშაობის უნარების გაღრმავება და  განვითარება.       აქტივობის აღწერა: მოსწავლეები მასწავლებლის მითითების საფუძველზე გაზომავენ მათ მიერ დამზადებული მართკუთხედებისა და კვადრატების გვერდებს, გამოთვლიან პერიმეტრებს, შემდეგ კი შეადარებენ იმ კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობებს, რომელთაც ტოლი პერიმეტრები აქვთ.  რა კანონზომიერებას ამჩნევენ? კონკრეტული გამოთვლებიდან გამომდინარე,  ინდუქციის საფუძველზე, გადავლენ დედუქციაზე.  V -აქტივობა: -  პრეზენტაცია  6 წთ.        აქტივობის მიზანი:  მოსწავლეები შეძლებენ ნამუშევრების პრეზენტაციის გაკეთებას,  იმსჯელებენ,  გააკეთებენ ანალიზს და  სინთეზს, აღნიშნული საკითხის ირგვლივ.        აქტივობის აღწერა: მოსწავლეები წარმოადგენენ მათ მიერ ჩატარებული გაზომვებისა და გამოთვლების პრეზენტაციას. გააკეთებენ დასკვნებს, შეაფასებენ მიღებულ შედეგებს. მოახდენენ კონკრეტული შედეგების განზოგადებას. VI - აქტივობა: საერთო საკლასო  მუშაობა  10 წთ.      აქტივობის მიზანი:  ანალიზი, სინთეზი და შეფასება.      აქტივობის აღწერა:   კლასს  პროექტორის საშუალებით  ვაჩვენეს ცხრილს, სადაც  მართკუთხედის სიგრძე 2 - ით მეტია კვადრატის გვერდის სიგრძეზე, სიგანე კი 2 -ით  ნაკლებია და  მივცემ დავალებას:  გამოთვალონ კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობები და იპოვონ  ამ ფართობების სხვაობა. (ტექნიკური ხარვზის შემთხვვაში წინასწარ ამობეჭდილ ცხრილს დავურიგბ  ჯგუფებს)                                                                                ცხრილი                     კვადრატი                მართკუთხედი ფართობების სხვაობა გვერდის სიგრძე ფართობი სიგრძე სიგანე ფართობი 4 6 2 5 7 3 6 8 4 7 9 5 VII - აქტივობა: დისკუსია 8 წთ.           აქტივობის მიზანი:  გააზრება, სინთეზის,  ანალიზისა და შეფასების უნარების განვითარება.          აქტივობის აღწერა:   დავუსვამ კლასს კითხვებს:                 რა კანონზომიერებებს ამჩნევთ შევსებული ცხრილის მიხედვით? როგორ ფიქრობთ რაში დაგეხმარებათ ამ კანონზომიერების აღმოჩენა? როგორ გამოიყენებთ აღმოჩენილ კანონზომიერებას პრობლემის გადასაჭრელად? დისკუსიის შემდეგ მოსწავლეები მივლენ დასკვნამდე, რომ ძირითადი კანონზომიერება არის,  ის, ამ შემთხვევებისათვის,   რომ ფართობების სხვაობა მუდმივია და  4 - ის ტოლია.    განვიხილავთ სხვა მაგალითსაც, როცა კვადრატის გვერდი სხვა რიცხვით იცვლება, მაგ. 3 - ით.     ამის შემდეგ კლასს ვთავაზობთ იდეას, ეს გამოთვლები გამოიყენეონ კვადრატების სხვაობის ფორმულის სახით ჩაწერის  პრობლემის გადასაჭრელად. კვადრატის გვერდის სიგრძეს თუ აღნიშნავენ  a -თი, მაშინ როგო- რი სახით ჩავწერთ ზემოთ აღწერილ კანონზომიერებას?  მოსწავლეები გამოთქვამენ ვარაუდს, რომ                               ( a - 2) (a + 2)   = a2 -4.    (a -3) (a + 3 ) = a2 - 9... და ინდუქციაზე დაყრდნობით გააკეთებენ დასკვნას,                                            a2 - b2 =   ( a - b ) ( a + b )    მოსწავლეებს, ამ კანონზომიერების დადგენას შევთავაზებთ ალგებრული ხერხითაც. ( ფრჩხილების გახსნის წესის  გამოყენებით).  ე.ი. აღნიშნული აქტივობების საფუძველზე მოახდენენ  დასმული პრობლემის სხვადასხვა გზით გადაჭრას. შეადარებენ ერთმანეთს პრობლემის გადაჭრის ალგებრულ და გეომეტრიულ მეთოდებს, დაასაბუთებენ თითოეული მეთოდის გამოყენების უპირატესობას კონკრეტულ სიტუაციებში. VIII - აქტივობა  - უკუკავშირი -  2 წთ.            აქტივობის მიზანი: მასწავლებელი რუბრიკაზე დაყრდნობით და ჩანაწერების მიხედვით მოახდენს  განმსაზღვრელ და განმავითარებელ შეფასებას.             აქტივობის აღწერა:  შევაჯამებ გაკვეთილს, გავამეორებინებ მოსწავლეებს კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობებისა და პერიმეტრების გამოთვლის ხერხებს, აღნიშნული თვისებების კვადრატების სხვაობის   ფორმულის დასაბუთებისათვის პრობლემის გადასაჭრელად  გამოყენებას.   ჩაწერენ ფორმულებს.  შევახსენებს მოსწავლეებს შეფასების რუბრიკებს და შევაფასებ მათ.             IX - აქტივობა - საშინაო დავალება - 2 წთ        აქტივობის მიზანი: მოსწავლეებმა შეძლონ გაკვეთილზე მიღებული ცოდნის გამოყენებით   ფორმულის ჩაწერა, თემასთან დაკავშირებული პრაქტიკული სავარჯიშოების შესრულება.     აქტივობის აღწერა:   მოსწავლეებს  მივუთითებ ეკრანზე საშინაო დავალების ბმულს ბლოგზე: natochankseliani.blogspot.com მოსწავლეები  დახაზავენ კვადრატს, რომლის გვერდი a - ს ტოლია,  და მივცემ ასეთ დავალებას:  რა ფიგურის ფართობი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ( a - b ) ( a + b )  ფორმულით. რისი ტოლია გაფერადბული ფიგურის ფართობი?  რა ტოლობის დაწერა შეიძლება?  ამ კითხვებზე პასუხის გაცემით მოსწავლეები აღმოაჩენენ მნიშვნელოვან ფაქტს: მოცემული პერიმეტრის მქონე მართკუთხედებს  შორის უდიდესი  ფართობი აქვს კვადრატს.             a                  b    a b             b    b                                                                                                                                                  ჯგუფური  მუშაობის შეფასების რუბრიკა შეფასების კრიტერიუმები ქულა ჯგუფის ყველა წევრი  ჩართულია მუშაობაში 2 ჯგუფის წევრები  უსმენენ ერთმანეთს 1 ჯგუფის   წევრები თანამშრომლობენ (აზრის გამოხატვის თანაბარი პირობები) 2 ჯგუფი  პრეზენტაციისას წარმოადგენს მთავარ იდეას, აკეთებს დასკვნებს. 2 ჯგუფი  პასუხობს შეკითხვებს 2 ჯგუფი  იცავს დროის ლიმიტს 1                                                        პრეზენტაციის შეფასების რუბრიკა N                      კრიტერიუმი ქულა 1 მასალის გასაგებად წარმოდგენა        (ლოგიკური ჯაჭვი) 1 – 2 ქ 2 ამოხსნის გზების მოძებნა და რეალიზება 1 – 2 ქ 3 ალგებრული მასალის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია 1 – 2 ქ 4 აუდიტორიასთან კონტაქტი 1 – 2 ქ 5 დროის ლიმიტის დაცვა 1 – 2 ქ